SOAL - SOAL SPMB

1. SPMB 2005 Regional 1 Kode 772 No.4 (Suku Banyak)
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5 x + k = 0 adalah x1 & x2, jika maka nilai k adalah …….
a. -24 b. 20 c. -12 d. 10 e. 10
Pembahasan :

 =  600 – 48K = -73k  k = -24
Jawaban : A

2. SPMB 2005 Regional 1 Kode 772 No.6 (Limit)
=
a. -2 b. -1 c. 0 d.1 e. -2
Pembahasan :
=0

3. SPMB 2005 Regional 1 Kode 772 No. 7 (Limit)
=
a. b. c. 0 d. e.
Pembahasan :
Dalil L Hospital
= = =12=
Jawaban : B

4. SPMB 2005 Regional II Kode 270 No. 13 (Diperensial)
Turunan pertama dari fungsi f (x) = adalah f1 (x)
a. b. c. d. e.
Pembahasan :
f (x) =  f 1(x) =
f1(x) =  =
Jawaban : E



5. SPMB 2003 Regional III Kode 312 No. 10 (Limit)
=
a. b. (1) c.2 d. e. 2
Pembahasan :
Teori L Hospital
=  =2
Jawaban : E

6. SPMB 2003 Regional I Kode 712 No. 2 (Suku Banyak)
Jika salah satu akar persamaan kuadrat x2 – 3x – 2p = 0 tiga lebih besar dari salah satu akar x2 – 3 x + p = 0, maka bilangan asli p sama dengan …
a. 1 b. 2 c. 3 d.4 e. 5
Pembahasan :
PK I : x2 – 3x – 2p = 0, akar (x1 + 3)
(x1 + 3)2 – 3 (x1 + 3) – 2p = 0
x12 + 3x1 – 2p = 0
PK II :
Dan
PK II :

 p1=0 atau p2 = 2
Jadi bilangan asli p = 2
Jawaban : B

7. SPMB 2003 Regional II Kode 322 No. 8 (Limit)
Nilai
a. 0 b. 0,2 c. 0,6 d. 1 e. ∞
Pembahasan :
.cos 4x = = 0,6
Jawaban : C



8. SPMB 2003 Regional III Kode 322 No. 12 (Peluang)
Suatu tim bulutangkis terdiri dari 10 orang putra dan 5 orang putri. Dari tim ini akan dibuat pasangan ganda, baik ganda putra, ganda putri, maupun ganda campuran. Banyak Pasangan ganda yang dapat dibuat adalah :
a. 45 b. 50 c. 55 d.95 e. 105
Pembahasan :
Tersedia 10 putra dan 5 putri  ganda putra + ganda putri + ganda campuran
=  = = 105
Jawaban : E

9. SPMB 2003 Regional III Kode 322 No. 4 (Lingkungan)
Jika lingkaran x2 + y2 – 4 x – 6y + c = 0 yang berpusat di (2,3) menyinggung garis y = 1 - , maka nilai c sama dengan …
a. 0 b.4 c.5 d. 9 e. 13
Pembahasan :
x2 + (1 – x)2 – 4 x – 6 (1 – x) + c = 0  2x2 + c – 5 = 0
Garis menyinggung lingkaran D = 0  (0)2 – 4 (2) (C – 5) = 0
 C = 5
Jawaban : C

10. UM – UGM 2003 Kode 121 No. 12 (Riferensial)
Jika fungsi f (x) = x3 + px 2 – 9x hanya didefinisikan untuk nilai-nilai x yang memenuhi -5 ≤ x ≤ dan mencapai nilai mawimum pada saat x = -3, maka nilai p adalah …
a. 6 b. -6 c. 2 d. -2 e.3
Pembahasan :
Syarat f1 (x) = 0  3x2 + 2p x – 9 = 0 mencapai titik maks pada saat µ = -3
 (3) (-3)2 + 2p (-3) – 9 = 0  27 – 6p – 9 = 0  -6p = - 18  p = 3
Jawaban : E

11. UM – UGM 2003 Kode 121 No. 123(Diferensial)
Diketahui f (x) = ax2 + bx + 4, jika gradien garis singgung kurva di x=2 adalah -1 dan di x =1 adalah 3, maka a + b :
a. 9 b. 7 c. 5 d. 2 e. 0
Pembahasan :
f1 (x) = 20 x + b = m
x = 2  4a + b = m
4a + b = -1 …… (1)
x = 1  2a + b = m
2a + b = 3 ….... (2)
Eliminasi (1) dan (2)
2a + b = 3
4a + b = -1 –
2a = 4  a = -2, b = 7  ; -a + b = -2 + 7 = 5
Jawaban : C


12. UM – UGM 2003 Kode 322 No. 1 (Limit)
=
a. 1 b. 1 - a c. a d. 0 e. 2-a
Pembahasan :
=
= 1 - x = = 1
Jawaban : A

13. UM – UGM 2005 Kode 611 No. 8 (Komposisi Fungsi)
Fungsi f(x) dibagi (x-1) sisanya 3. Sedangkan jika dibagi (x-2) sisanya 4, jika f (x) dibagi dengan x2 – 3 x + 2, maka sisanya ada :
a. –x-2 b. x+1 c. x + 2 d. 2 x + 1 e. 4 x – 1
Pembahasan :
- f(x) : (x – 1)  3 = f (1) = 3
- f(x) : (x – 2)  3 = f (1) = 4
- f(x) : x2 - 3x + 2  3 s (x) = a x + b
- f(x) : a + b = 3
- f(2) : 2a + b = 4 –
-a = -1
a = 1 s (x) = x + 2
b = 2
Jawaban : C

14. UM – UGM 2005 Kode 812 No. 9 (Suku Banyak)
Suku banyak f(x) = x3 + a x2 – b x -5 dibagi dengan (x-2) memberikan hasil bagi x2 + 4x +1 dan sisa 17, nilai a + b :
a. (-1) b. 0 c. 1 d. 2 e. 3
Pembahasan :
Sintesa Horner
2 1 a -b -5
2 2a + 4 4a – 2b + 8
1 (a+2) (2a – b + 4) (4a – 2b + 3)
Hasil bagi : 1x2 + 4 x + 1
- a + 2 = 4  a = 2
- 2a – b + 4 = 11  b = -3
Jadi a + b = -1
Jawaban : A

15. UM – UGM 2005 Kode 621 No.11 (Diferensial)
Batas nilai P agar fungsi f (x) = -1/3 x 2 + 2px2 + 2px + 5 selalu turun untuk semua nilai x bilangan real adalah …
a. p < -2 atau p > 0 c. -2 < p< 0 e. -2p ≤ 0
b. -2≤ p ≤ 0 d. -2 ≤ p < 0

Pembahasan :
- f(x) : - x3 + px2 + 2px + 5
- f1(x) : - x2 + 2px + 2p
Agar senantiasa turun, maka f1 (x) harus selalu negatif syarat :
D < 0 dan a < 0 (telah terpenuhi)
(2p)2 – (-1) (2p) < 0
4p2 + 8p < 0
4p (p+2) < 0

+ +
- 2 0
- 2 < p < 0
Jawaban : C

16. UM – UGM Kode 621 No.13 (Diferensial)
Diketahui f (x) = x. sin 3x, maka f1 ( ) sama dengan
a. (1+ ) c. (1+ ) e. - (1+ )
b. (1+ ) d. ( -1)
Jawaban :
f(x) = x . sin x
Misalnya u = x ; v = sin 3x
f1(x) = u1v + uv1
= 1 (sin3x) + x (3cos 3x)
= sin 3x + 3µ cos 3x
f1( ) = sin + 2 . Cos
= + +
= (1 + )
Jawaban : C

17. SPMB 2005 Regional III Kode 171 No.2 (Suku Banyak)
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (a-1) x + 6 = 0, a > 0 adalah x1 dan x2
Jika x12 + x22 = 13, maka a :
a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. 6
Pembahasan :
x2 + (a – 1) x + 6 = 0
x12 + x22 = 13
(x¬1 + x 2) 2 – 2 x¬1 x 2 = 13
(- [a-1])2 – 2 (6) = 13
(A-1)1 = 25  A – 1 = 5  A = 6
Jawaban : E
18. SPMB 2005 Regional III Kode 370 No.22 (Statistika)
Simpangan kuartil dari data 5, 6, a, 3, 7, 8 adalah 1 ½ jika median data adalah 5 ½ maka rata-rata data tersebut adalah ….
a. 4 b. 4 ½ c. 5 d. 5 ½ e. 6
Pembahasan :
Median : 5 ½ maka data diurut : 3, a, 5, 6, 7, 8
Simpangan kuartil = 1 ½ simpangan kuartil = ½ (Q3 – Q1)
3/2 = ½ (7 – a)  3 = 7 –a
 a = 4
Jawaban : D

19. SPMB 2005 Regional I Kode 480 No.15 (Peluang)
Saya mempunyai 4 buku IPA, 2 buku IPS, 2 buku Bhs. Indonesia, dan buku bahasa Inggris. Buku-buku tersebut akan dikata berjajar di rak jika buku sejenis harus dikelompokkan maka banyak cara menata buku-buku tersebut adalah ….
a. 11 b. 13824 c. 2304 d. 576 e. 48
Pembahasan :
4 IPA, 2 IPS, 2 IND, 3 ING
Asumsi
Untuk pelajaran yang sejenis, buku berbeda

(IPA) (IPS) (IND) (ING) (4 jenis buku)
4i . 2i . 2i. 3i . 4i = 13824
Jawaban : B

20. SPMB 2005 Regional I Kode 780 No.15 (Peluang)
Suatu deregasi terdiri dari 3 pria dan 3 wanita yang dipilih dari himpunan 5 pria yang berbeda usia dan 5 wanita yang juga berbeda usia. Delegasi itu boleh mencakup paling banyak hanya satu anggota termuda dari kalangan wanita atau anggota termuda dari kalangan pria. Dengan persyaratan ini, banyak cara menyusun keanggotaan delegasi ini adalah :
a. 52 b. 56 c. 60 d. 64 e. 68
Pembahasan :
- dari 5 pria dipilih 3 pria
- dari 5 wanita dipilih 3 wanita
- syarat : paling banyak hanya satu anggota termuda wanita atau satu anggota termuda pria.
Syarat tersebut diatas sama artinya dengan “tidak boleh” anggota termuda wanita dan anggota termuda pria bersama-sama sekaligus.
- Semua kemungkinan anggota delegasi = (
- Kemungkinan anggota termuda pria dan wanita yang ikut = (
Jadi banyak cara menyusun keanggotaan delegasi = 100 – 36 = 64
Jawaban : D




21. SPMB 2002 Regional III Kode 711 No.25 (Suku banyak)
Jika x1 dan x2 aka-akar persamaan kuadrat 2x2 + x – 2 = 0, maka persamaan akar yang akarnya + 1 dan + 1 adalah …
a. 2y2 – 3y + 1 = 0 c. 2y2 + 3y + 1 = 0 e. 4y2 + 3y - 1 = 0
b. 2y2 – 5y + 1 = 0 d. 4y2 – 5y - 3 = 0
Pembahasan :
Misal : +1 = y
=y-1, maka x1 =  2 ( )2 + -2 = 0  semua ruas dikali (y-1)2
Maka : 2y2 – 5y + 1 = 0
Jawaban : B

22. SPMB 2002 Regional I Kode 110 No.3 (Statistika)
Tinggi dari 12 orang siswa adalah dalam cm adalah …
160 148 156 147 148 158
150 148 160 146 158 162
Kuartil bawah data tersebut adalah
a. 147,5 b. 148 c. 148,5 d. 149 e. 149,5
Pembahasan :
Data setelah diurutkan
146, 147, 148, 148, 148, 150, 156, 158, 160, 160, 162

Q1 = 148 + 148 Q2 Q3
Q1 = 148
Jawaban : B

23. SPMB 2002 Regional III Kode 771 No.2 (Statistika)
Perbandingan jumlah buruh tetap dan buruh tak tetap disuatu pabrik adalah 1: 9. Penghasilan rata-rata buruh tak tetap Rp 1.8 juta dan buruh tetap Rp 2,4 juta, maka penghasilan tahunan dari kedua kelompok tersebut adalah …
a. Rp 4,2 juta c. Rp 1,86 juta e. Rp 2,4 juta
b. Rp 2,1 juta d. Rp 2,34 juta
Pembahasan :
Misalnya : banyak buruh tetap = x
Banyak buruh tak tetap = y
x : y = 1 : 9  y = 9x
x 9ab = = =Rp 1,86 juta

24. SPMB 2002 Regional I Kode 121 No.6 (Lingkaran)
Titik pusat lingkaran L berada di kuadrat I dan berada di sepanjang garis y = 2x, jika L menyinggung sumbuh –y dititik (0,6), maka persamaan L adalah …
a. x2 + y2 – 3x – 6y = 0 d. x2 + y2 – 12x – 6y = 0
b. x2 + y2 + 6x + 12y – 108 = 0 e. x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0
c. x2 + y2 + 12x + 6y - 72 = 0
Pembahasan :
Pusat (3,6) dengan r = 3
Persamaan lingkaran
(x-3)2 (y-6)2 = 32
x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0


Jawaban : E

25. SPMB 2002 Regional I Kode 121 No.4 (Peluang)
Dari 10 orang siswa yang terdiri 7 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan angota tim tersebut paling banyak 2 orang putri maka banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah …
a. 168 b. 189 c. 210 d. 231 e. 252
Pembahasan :
Dari 7 putra dan 3 putri di bentuk tim yang beranggotakan 5 orang dengan paling banyak 2 putri mempunyai kemungkinan
10 5 putra dan 0 putri  = 21
10 4 putra dan 1 putri  = 105
10 3 putra dan 2 putri  = 105 +
Banyaknya tim yang dapat dibentuk = 231
Jawaban : D

26. SPMB 2002 Regional III Kode 721 No.11 (Lingkaran)
Lingkaran L1 = x2 + y2 – 10 x + 2y + 17 = 0 dan L2 = x2 + y2 – 8 x + 2y - 7 = 0
a. tidak berpotongan d. berpotongan di dua titik
b. bersinggungan dalam e. mempunyai jari-jari yang sama
c. bersinggungan luar
Pembahasan :
L1 = (x - 5)2 + (y+1)2 = 32  pusat (5,1) dan r1 = 3
L2 = (x + 4)2 + (y-11)2 = 122  pusat (-4,11) dan r2 = 12
Jarak P1 = (5, -1) ke P2 (-4, 11) = = 15
Jumlah r1 dan r2 = 15 3 12
Maka L1 dan L2 bersinggungan luar L1 L2
Jawaban : C

27. SPMB 2002 Regional III Kode 721 No.14 (Trigonometri)
Jika sin x cos x = a untuk 0 ≤ x < : maka tan 2 x =
a. c. e.
b. d.
Pembahasan :
Sin x . cos x = a
½ sin 2 x = a  sin 2 x = 2a


2a  tan 2 x

Jawaban : C

28. SPMB 2003 Regional III Kode 110 No.9 (Trigonometri)
Jika sin x – cos x = p, maka sin x cos x =
a. (p-1) b. (1-p) c. (p2-1) d. (1-p)2 e. p2
Pembahasan :
(sin x – cos x)2 = p2
Sin2 + cos2 x – 2 sin x cos x = p 2
1 – 2 sin x cos x = p2
Sin x cos x = ½ (1-p2)
Jawaban : D

29. SPMB 2003 Regional III Kode 312 No.25 (Statistika)
Data berikut adalah hasil ujian matematika suatu kelas di SMU yang nilai rata-ratanya adalah x
Nilai 3 4 5 6 7 8
Frekuensi 2 4 8 12 16 4
Siswa dinyatakan lulus bila adanya lebih besar atau sama dengan x-1. Banyaknya siswa yang lulus ujian adalah …
a. 20 b. 28 c. 32 d. 36 e. 40
Pembahasan :
Nilai 3 4 5 6 7 8
Frekuensi 2 4 8 12 16 4
x = = 6
Siswa yang lulus ≥ x – 1
≥ 6 - 1
≥ 5
Maka siswa yang lulus = 32
Jawaban : C

30. SPMB 2003 Regional III Kode 322 No.2 (Trigonometri)
Jika tan x = untuk x E [ ], maka sin2 x – x cos x + cosx =
a. b. c. d. e.
Pembahasan :
Untuk < x < dengan tan x =

-2 Maka xin2 x – sin x cos x + cos x =
-1 - + = (1 + 2 )

Jawaban : E

31. UM – UGM 2003 Kode 322 No.15 (Peluang)
Dari tiga haruf A, B, C dan tipe angka 1,2,3 akan dibuat plat nomor motor yang dimulai dengan satu huruf. Karena khawatir tidak ada yang mau memakai, pembuat plat nomor tidak diperlukan membuat plat nomor yang memuat angka 13. Banyaknya plat nomor yang dapat dibuat adalah …
a. 11 b.27 c. 45 d. 54 e. 72
Pembahasan :
Banyak plat nomor yang dibuat dari huruf A, B, C dan angka 1,2,3 dengan susunan
Huruf Angka huruf

= 3, (3,3), 3 = 81 Plat nomor
Banyak plat nomor dengan nomor 13
Huruf huruf

= 3, (1), 3 = 9 Plat nomor
Banyak plat nomor tanpa nomor 13 = 81 – 9 = 72
Jawaban : E

32. SPMB 2004 Regional I Kode 440 No.23 (Statistika)
Nilai rata-rata tes matematika dan kelompok siswa dan kelompok siswa disuatu kelas berturut-turut adalah 5 dan 7, jika banyaknya rata-rata dikelas tersebut adalah 6,2 maka perbandingan siswa dan siswi adalah …
a. 2 : 3 b. 3: 4 c. 2 : 5 d. 3: 5 e. 4 : 5
Pembahasan :


Siswa siswi
(6,2-5) siswa = (7-6,2) siswi
1,2 siswa = 0,8 siswi

Jawaban : A

33. SPMB 2004 Regional I Kode 640 No.8 (Trigometri )
Jika 2 tan2 x + 3 tan x – 2 = 0, < x < , maka sin x + cos x :
a. b. c. 0 d. e.
Pembahasan :
2 tg2 + 3 tg x – 2 = 0, kwadran 11  (2 tg x -1) (tg x + 2) = 0
Tg x = ; tg x = -2

2 Sin x + cos x : - =
Jawaban : D

34. SPMB 2004 Regional I Kode 452 No.3 (Lingkaran)
Diketahui lingkaran L berpusat dititik (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar 90o terhadap titik 0 (0,0) searah jarum jam kemudian di geser ke bawah sejauh 5 satuan, maka persamaan L yang dihasilkan adalah …
a. x2 + y2 - 6x + 6y + 5 = 0 d. x2 + y2 + 6x - 6y - 5 = 0
b. x2 + y2 - 6x + 6y - 5 = 0 e. x2 + y2 - 6x + 6y = 0
c. x2 + y2 - 6x - 6y + 5 = 0
Pembahasan :
Pusat L Rotasi (-90o) Translasi pusat L
(-2,3) (3,2) (3,-3)
R =
Persamaan lingkaran L1 = (x – 3)2 + (y + 3)2 = ( )2
 x2 + y2 - 6x + 6y + 5 = 0
Jawaban : A

35. SPMB 2004 Regional II Kode 250 No.6 (Lingkaran)
Diketahui suatu lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva y= dan melalui titik asal 0 (0,0). Jika absis titik pusat lingkaran tersebut adalah a, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui 0 adalah ….
a. y = -x b. y = -x c. y = -ax d. y = -2 x e. y = -2ax
Pembahasan :
Pusat lingkaran pada y = absis pusat lingkaran adalah a  P (a, )
Jari-jari (R) =
(x-a)2 + (y- )2 = ( )2 persamaan garis singgung adalah ….
(x1 – a) (x – a) + (y1 - ) (y- ) = a2 + a
Melalui (0,0) maka –a (x-a) + (- )(y- ) = a2 + a
 –ax + a2 - + a = a2 + a  - ax - y = 0
 y = x = -x
Jawaban : B

36. SPMB 2004 Regional III Kode 550 No.8 (Komposisi Fungsi)
Jika f (x) = sin a x dan f (x) = cos a = , maka f (1) =
a. –a sin a b. – (1 + a) sin a c. sec a d. – sina + sec . a e. – a tan a

Pembahasan :
f (x) = sin ax
f (x) = cos a +
f (x) = cos a +
f (x) = cos a + cos a x
f 1(x) = -a sin ax
maka f 1 (1) = - a sin a
Jawaban : A

37. SPMB 2005 Regional III Kode 181 No.8 (Trigonometri)
Jika dan sudut lancip, tg = , tg = 1
Maka nilai 5 (cos ( + ) + cos (( + )) adalah :
a. b. c. d. 5 e.
Pembahasan :
* , sudut lancip
Tan = ¾  cos =
Tan = 1  cos =
* 5 {cos ( + ) + cos ( + )}
= 5 {2 cos . cos }
= 5.2. . = 4

38. Jika f (3 + 2x) 4 – 2 + x2 maka f1 (1)  SPMB 2003
a. -4 b. -2 c. -1 d. 0 e.
Pembahasan :
Jika f (3 + 2x) = x2 . 2 x + 4
Maka f (x) = - 2 + 4
f1 (x) = 2 . - 1
f1 (1) = 2 . - 1
= -2
Jawaban : B

39. Jika f (x) maka -2 f1 (x) sama dengan  SPMB 2003
a. c. d.
b. d.
Pembahasan :
f (x) = x  f1 (x) =
-2f1(x) = -2 =
Jawaban : A

40. Diketahui f (x) = x3 + ax2 + bx + 2 ; f (1) = f (2) = 0  SPMB 2005
dan 9 (x) = x2 – (a + b) x + ab, 9 (-1)
a. 0 b. 6 c. -2 d. -4 e.-6
Pembahasan :
f (1) = 1 + a + b + 2 = 0 x 2
f (2) = 8 + 4a + 2b + 2 = 0 x 1
2 + 2a + 2b + 4 = 0
8 + 4a + 2b + 2 = 0
-6 – 2a + 2 = 0
- 2 = a dan b = -1
Sehingga 9 (x) = x2 + 3 x +2
9 (-1) = 1- 3 + 2 = 0
Jawaban : A